命題１２
もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例するならば、最後の数がどれだけの素数で割り切られても、同じ素数によって単位の次の数もまた割り切られる。
A、B、C、Dを単位から始まる任意個で連続して比例するとせよ。
どれだけの素数でDを割り切られても、Aもまた同じ素数によって割り切られると主張する。
Dを素数E似よって割り切られるとせよ。
EはAを割り切ると主張する。
割り切らないとせよ。
Eは素数で、任意の素数は、それが割り切らない数に対して互いに素である。
それゆえに、EとAは互いに素である。propositonⅦ２９
それゆえに、EはFをかけられてDを作る。
再び、AはDを割り切って、その商はCの中の単位なので、それゆえに、AはCをかけられてDを作る。
しかし、加えて、EはFをかけられてDを作る。
それゆえに、AとCの積は、EとFの積と等しい。propositionⅨ１１and cor
それゆえに、AはEに対して、FはCに対する。propositionⅦ１９
しかし、AとEは互いに素で、素数は最小で、最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、その商は同じで、前項は前項を、後項は後項を割り切るので、それゆえに、EはCを割り切る。propositionⅦ２１、propositionⅦ２０
EがCを割り切り、その商をGとせよ。
それゆえに、EはGをかけられてCを作る。
しかし、加えて、前の定理より、AはBをかけられてCを作る。propositionⅨ１１and cor
それゆえに、AとBの積はEとGの積と等しい。
それゆえに、AはEに対して、GはBに対する。propositionⅦ１９
しかし、AとEは互いに素で、素数は最小で、最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、その商は同じで、前項は前項を、後項は後項を割り切るので、それゆえに、EはBを割り切る。propositionⅦ２１、propositionⅦ２０
EがBを割り切りその商をHとせよ。
そのとき、EはHをかけられてBを作る。
しかし、加えて、Aはそれ自身をかけられてBを作る。
それゆえに、EとHの積は、Aの上の平方数に等しい。propositionⅨ８
それゆえに、EはAに対して、AはHに対する。propositionⅦ１９
しかし、AとEは互いに素で、素数は最小で、最小の数は同じ比をもつ数を割り切り、その商は同じで、前項は前項を、後項は後項を割り切る。propositionⅦ２１、propositionⅦ２０
それゆえに、前項は前項を、つまり、EはAを割り切る。
しかし、また、EはまたAを割り切らなく、これは不可能である。
それゆえに、EとAは互いに素でない。definitionⅦ１４
それゆえに、それらは互いに合成である。
しかし、互いに合成な数は、ある数によって割り切られる。
そして、仮定からEは素数で、素数は自分自身を除いて、どのような数によっても割り切られないので、それゆえに、EはAとEを割り切る。
つまり、EはAを割り切る。
しかし、EはまたDを割り切る。
それゆえに、EはAとDを割り切る。
同様に、どれだけの素数でDを割り切られても、同じ素数によってAもまた割り切られることは証明できる。
それゆえに、もし、単位から始まる任意個の数が連続して比例するならば、最後の数がどれだけの素数で割り切られても、同じ素数によって単位の次の数もまた割り切られる。